Интервал сглаживания при использовании скользящей средней равен. Разработка прогноза с помощью метода скользящей средней

Здравствуйте, дорогие друзья!

В этой статье, как видно из ее названия, мы с Вами рассмотрим принцип работы одного из наиболее распространенных индикаторов технического анализа — скользящей средней (moving average или MA) , на жаргоне трейдеров ее еще называют просто «мувинг» или «машка».

Скользящая средняя — это способ, позволяющий сглаживать ценовые колебания во времени. Иными словами, скользящая средняя рассчитывает среднюю цену цены за определенный интервал времени. Скользящая средняя — это трендовый индикатор в чистом виде. С его помощью можно отследить начало нового тренда и завершение текущего, по углу наклона можно судить о силе тренда.

Скользящая средняя хоть и является примитивным индикатором, но я считаю его базовым индикатором технического анализа, он является основой для многих торговых стратегий и различных индикаторов, поэтому знать «устройство» и принцип работы этого индикатора обязан каждый трейдер.

Существует несколько методов построения скользящей средней :

Простая (Simple).
Линейно-взвешенная (Linear-Weighted).
Экспоненциальная (Exponential).
Сглаженная (Smoothed).

В основе всех методов лежат одни и те же принципы, отличаются лишь формулы, по которым они рассчитываются. Естественно у каждого метода есть свои плюсы и минусы. Остановимся на каждом методе более подробно.

ПРОСТАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (Simple moving average, SMA)

Чаще всего, когда идет речь о скользящей средней, подразумевается именно этот метод построения. Это один из самых простых и примитивных индикаторов технического анализа.

Рассчитывается он по очень простой формуле:

Где, Pi — цена (чаще всего рассчитывают по ценам закрытия (close) свечи, но также можно применить к максимальной минимальной, цене открытия, средней цене и др.).

N — период скользящей средней. Это основной параметр при построении, его еще называют длина сглаживания.

Давайте рассмотрим на примере.

Допустим мы хотим построить скользящую среднюю с периодом 8 по ценам закрытия. Чтобы получить среднюю точку для текущего сформированного бара, необходимо взять цены закрытий предыдущих 8 баров (ни рисунке ниже они обозначены цифрами 1−8), сложить их цены закрытия и разделить на общее количество периодов (8). В результате мы получим среднее значение для текущего сформированного бара:

Соответственно, если нам необходимо построить мувинг с периодом 60, то будем рассчитывать среднюю по ценам закрытия 60 предыдущих баров.

Как видите, ничего сложного. Построение простой скользящей средней является обычным примером вычисления среднего арифметического из школьной программы математики.

Ниже на рисунке Вы можете видеть то, как простая скользящая средняя с разными периодами «сглаживает» цену:

Основным недостатком данного метода является то, что расчет ведется на основании данных за фиксированный промежуток времени, а не всех цен, и каждому значению цены в истории присваивается одинаковая значимость. Но, согласитесь, что цена, которая имела место быть 30 дней не так важна, как цена, которая была 5 дней назад?

Также, говоря о минусах простой средней, следует упомянуть о значительном запаздывании данного индикатора, поэтому при торговле, трейдер не сможет взять большую часть трендового движения.

К достоинствам можно отнести то, что SMA обладает низкой чувствительностью, по сравнению с другими видами и будет давать меньше ложных сигналов, но за это придется «заплатить» более поздним сигналом на вход в позицию.

ЛИНЕЙНО-ВЗВЕШЕННАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (Linear- Weighted)

Как я писал выше, у простой МА есть существенный недостаток в том, что при расчете она придает одинаковый «удельный вес» цене, независимо от того, как близко или далеко она находится от настоящего момента. Этот недостаток был устранен в данном методе построения скользящей средней.

Формула для расчета взвешенной скользящей средней имеет следующий вид:

Где, Pi — значение цена за i-периодов назад; Wi — вес для цены i-периодов назад.

Суть данного метода состоит в том, что при построении взвешенной скользящей средней, цене присваивается определенный вес, таким образом, что ближние цены ближних баров имеют больший удельный вес, нежели цены прошлых баров.

Давайте попробуем рассчитаем линейно-взвешенную скользящую среднюю с периодом 5.

Это будет иметь следующий вид:

Т. е. мы взяли пять цен закрытия последних 5 баров. Ближайший бар у нас самый значимый и мы ему присвоили максимальный вес (в нашем случае это будет 5) и с каждой ценой закрытия последующего бара. Полученный результат разделили на сумму всех удельных весов. В результате получили взвешенную точку для конкретного бара. Конечно нам не надо будет производить эти расчеты, так как программа тех. анализа все сделает сама.

Ниже на рисунке Вы можете увидеть в сравнении простую и взвешенную скользящие средние, у обеих период 60:

К недостатком линейно-взвешенной скользящей средней можно отнести:

Дает достаточно поздние сигналы на вход в тренд и выход из него, но из-за придания веса, гораздо быстрее реагирует на изменение цены, нежели простая скользящая средняя.
При торговле во флэте дает множество ложных сигналов.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ (Exponential) И СГЛАЖЕННАЯ (Smoothed) СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ

Принцип расчета экспоненциальной МА заключается в том, что она берет в расчет все цены, которые есть на графике и присваивает им определенный вес (важность последних выше, чем предыдущих).

Формула расчета экспоненциальной скользящей средней довольна сложна и я не стану заострять на ней внимание. Нам как трейдерам важно знать, что экспоненциальная скользящая средняя очень чувствительна к изменению цены и дает более «интересные» точки входа в сделку, но при этом может лажать на сильных колебаниях цены.

Посмотрите на рисунок ниже, здесь представлены в сравнении две МА с одинаковым периодом (60):

Сглаженная скользящая средняя является, пожалуй, самой сложной в расчетах и обладает самой низкой чувствительностью. Данный тип скользящей средней очень редко используется трейдерам и только на графиках с очень большой амплитудой колебания цены.

Давайте посмотрим, как ведут себя простая и сглаженная скользящие средние с одинаковым периодом:

Обратите внимание на то, как сильно эта МА сглаживает цену по сравнению с простой скользящей средней!

До этого я сравнивал каждый метод построения скользящей средней с простой МА. Теперь давайте нанесем на график цены сразу все 4 мувинга:

Вот мы и подобрались к завершению статьи. Давайте подведем промежуточный итог.

Скользящая средняя — это трендовый индикатор, который прекрасно показывает себя, когда на рынке есть тенденция и абсолютно бесполезен, когда рынок находится в боковом движении. Хотя это и тренд-следящий индикатор, но из-за того, что рассчитывается на основании прошлых данных, он дает довольно поздние точки входа. Чтобы исправить этот недостаток были использованы другие методы расчета МА с помощью «весов».

В этой статье мы не касались того, как именно торговать по скользящим средним, как искать точки входа и выхода, как фильтровать сигналы. Все эти и многие другие вопросы мы разберем в следующей статье.

На сегодня у меня все. Успехов в торговле!

PS Обязательно прочитайте продолжение этой статьи, перейдя по этой ссылке . Из нее вы узнаете о практическом применении скользящих средних.

Метод скользящей средней – это статистический инструмент, с помощью которого можно решать различного рода задачи. В частности, он довольно часто используется при прогнозировании. В программе Excel для решения целого ряда задач также можно применять данный инструмент. Давайте разберемся, как используется скользящая средняя в Экселе.

Смысл данного метода состоит в том, что с его помощью происходит смена абсолютных динамических значений выбранного ряда на средние арифметические за определенный период путем сглаживания данных. Этот инструмент применяется для экономических расчетов, прогнозирования, в процессе торговли на бирже и т.д. Применять метод скользящей средней в Экселе лучше всего с помощью мощнейшего инструмента статистической обработки данных, который называется Пакетом анализа . Кроме того, в этих же целях можно использовать встроенную функцию Excel СРЗНАЧ .

Способ 1: Пакет анализа

Пакет анализа представляет собой надстройку Excel, которая по умолчанию отключена. Поэтому, прежде всего, требуется её включить.

После этого действия пакет «Анализ данных» активирован, и соответствующая кнопка появилась на ленте во вкладке «Данные» .

А теперь давайте рассмотрим, как непосредственно можно использовать возможности пакета Анализ данных для работы по методу скользящей средней. Давайте на основе информации о доходе фирмы за 11 предыдущих периодов составим прогноз на двенадцатый месяц. Для этого воспользуемся заполненной данными таблицей, а также инструментами Пакета анализа .

Переходим во вкладку «Данные» и жмем на кнопку «Анализ данных» , которая размещена на ленте инструментов в блоке «Анализ» .

Открывается перечень инструментов, которые доступны в Пакете анализа . Выбираем из них наименование «Скользящее среднее» и жмем на кнопку «OK» .

Запускается окно ввода данных для прогнозирования методом скользящей средней.
В поле «Входной интервал» указываем адрес диапазона, где расположена помесячно сумма выручки без ячейки, данные в которой следует рассчитать.

В поле «Интервал» следует указать интервал обработки значений методом сглаживания. Для начала давайте установим значение сглаживания в три месяца, а поэтому вписываем цифру «3» .

В поле «Выходной интервал» нужно указать произвольный пустой диапазон на листе, где будут выводиться данные после их обработки, который должен быть на одну ячейку больше входного интервала.

Также следует установить галочку около параметра «Стандартные погрешности» .

При необходимости, можно также установить галочку около пункта «Вывод графика» для визуальной демонстрации, хотя в нашем случае это и не обязательно.

После того, как все настройки внесены, жмем на кнопку «OK» .

Программа выводит результат обработки.

Теперь выполним сглаживание за период в два месяца, чтобы выявить, какой результат является более корректным. Для этих целей опять запускаем инструмент «Скользящее среднее» Пакета анализа .
В поле «Входной интервал» оставляем те же значения, что и в предыдущем случае.

В поле «Интервал» ставим цифру «2» .

В поле «Выходной интервал» указываем адрес нового пустого диапазона, который, опять же, должен быть на одну ячейку больше входного интервала.

Остальные настройки оставляем прежними. После этого жмем на кнопку «OK» .

Вслед за этим программа производит расчет и выводит результат на экран. Для того, чтобы определить, какая из двух моделей более точная, нам нужно сравнить стандартные погрешности. Чем меньше данный показатель, тем выше вероятность точности полученного результата. Как видим, по всем значениям стандартная погрешность при расчете двухмесячной скользящей меньше, чем аналогичный показатель за 3 месяца. Таким образом, прогнозируемым значением на декабрь можно считать величину, рассчитанную методом скольжения за последний период. В нашем случае это значение 990,4 тыс. рублей.

Способ 2: использование функции СРЗНАЧ

В Экселе существует ещё один способ применения метода скользящей средней. Для его использования требуется применить целый ряд стандартных функций программы, базовой из которых для нашей цели является СРЗНАЧ . Для примера мы будем использовать все ту же таблицу доходов предприятия, что и в первом случае.

Как и в прошлый раз, нам нужно будет создать сглаженные временные ряды. Но на этот раз действия будут не настолько автоматизированы. Следует рассчитать среднее значение за каждые два, а потом три месяца, чтобы иметь возможность сравнить результаты.

Прежде всего, рассчитаем средние значения за два предыдущих периода с помощью функции СРЗНАЧ . Сделать это мы можем, только начиная с марта, так как для более поздних дат идет обрыв значений.

Выделяем ячейку в пустой колонке в строке за март. Далее жмем на значок «Вставить функцию» , который размещен вблизи строки формул.

Активируется окно Мастера функций . В категории «Статистические» ищем значение «СРЗНАЧ» , выделяем его и щелкаем по кнопке «OK» .

Запускается окно аргументов оператора СРЗНАЧ . Синтаксис у него следующий:
СРЗНАЧ(число1;число2;…)

Обязательным является только один аргумент.

В нашем случае, в поле «Число1» мы должны указать ссылку на диапазон, где указан доход за два предыдущих периода (январь и февраль). Устанавливаем курсор в поле и выделяем соответствующие ячейки на листе в столбце «Доход» . После этого жмем на кнопку «OK» .

Как видим, результат расчета среднего значения за два предыдущих периода отобразился в ячейке. Для того, чтобы выполнить подобные вычисления для всех остальных месяцев периода, нам нужно скопировать данную формулу в другие ячейки. Для этого становимся курсором в нижний правый угол ячейки, содержащей функцию. Курсор преобразуется в маркер заполнения, который имеет вид крестика. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем его вниз до самого конца столбца.

Получаем расчет результатов среднего значения за два предыдущих месяца до конца года.

Теперь выделяем ячейку в следующем пустом столбце в строке за апрель. Вызываем окно аргументов функции СРЗНАЧ тем же способом, который был описан ранее. В поле «Число1» вписываем координаты ячеек в столбце «Доход» с января по март. Затем жмем на кнопку «OK» .

С помощью маркера заполнения копируем формулу в ячейки таблицы, расположенные ниже.

Итак, значения мы подсчитали. Теперь, как и в предыдущий раз, нам нужно будет выяснить, какой вид анализа более качественный: со сглаживанием в 2 или в 3 месяца. Для этого следует рассчитать среднее квадратичное отклонение и некоторые другие показатели. Для начала рассчитаем абсолютное отклонение, воспользовавшись стандартной функцией Excel ABS , которая вместо положительных или отрицательных чисел возвращает их модуль. Данное значение будет равно разности между реальным показателем выручки за выбранный месяц и прогнозируемым. Устанавливаем курсор в следующий пустой столбец в строку за май. Вызываем Мастер функций .

В категории «Математические» выделяем наименование функции «ABS» . Жмем на кнопку «OK» .

Запускается окно аргументов функции ABS . В единственном поле «Число» указываем разность между содержимым ячеек в столбцах «Доход» и «2 месяца» за май. Затем жмем на кнопку «OK» .

С помощью маркера заполнений копируем данную формулу во все строки таблицы по ноябрь включительно.

Рассчитываем среднее значение абсолютного отклонения за весь период с помощью уже знакомой нам функции СРЗНАЧ .

Аналогичную процедуру выполняем и для того, чтобы подсчитать абсолютное отклонение для скользящей за 3 месяца. Сначала применяем функцию ABS . Только на этот раз считаем разницу между содержимым ячеек с фактическим доходом и плановым, рассчитанным по методу скользящей средней за 3 месяца.

Далее рассчитываем среднее значение всех данных абсолютного отклонения с помощью функции СРЗНАЧ .

Следующим шагом является подсчет относительного отклонения. Оно равно отношению абсолютного отклонения к фактическому показателю. Для того чтобы избежать отрицательных значений, мы опять воспользуемся теми возможностями, которые предлагает оператор ABS . На этот раз с помощью данной функции делим значение абсолютного отклонения при использовании метода скользящей средней за 2 месяца на фактический доход за выбранный месяц.

Но относительное отклонение принято отображать в процентном виде. Поэтому выделяем соответствующий диапазон на листе, переходим во вкладку «Главная» , где в блоке инструментов «Число» в специальном поле форматирования выставляем процентный формат. После этого результат подсчета относительного отклонения отображается в процентах.

Аналогичную операцию по подсчету относительного отклонения проделываем и с данными с применением сглаживания за 3 месяца. Только в этом случае для расчета в качестве делимого используем другой столбец таблицы, который у нас имеет название «Абс. откл (3м)» . Затем переводим числовые значения в процентный вид.

После этого высчитываем средние значения для обеих колонок с относительным отклонением, как и ранее используя для этого функцию СРЗНАЧ . Так как для расчета в качестве аргументов функции мы берем процентные величины, то дополнительную конвертацию производить не нужно. Оператор на выходе выдает результат уже в процентном формате.

Теперь мы подошли к расчету среднего квадратичного отклонения. Этот показатель позволит нам непосредственно сравнить качество расчета при использовании сглаживания за два и за три месяца. В нашем случае среднее квадратичное отклонение будет равно корню квадратному из суммы квадратов разностей фактической выручки и скользящей средней, деленной на количество месяцев. Для того, чтобы произвести расчет в программе, нам предстоит воспользоваться целым рядом функций, в частности КОРЕНЬ , СУММКВРАЗН и СЧЁТ . Например, для расчета среднего квадратичного отклонения при использовании линии сглаживания за два месяца в мае будет в нашем случае применяться формула следующего вида:
КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(B6:B12;C6:C12)/СЧЁТ(B6:B12))

Копируем её в другие ячейки столбца с расчетом среднего квадратичного отклонения посредством маркера заполнения.

Аналогичную операцию по расчету среднего квадратичного отклонения выполняем и для скользящей средней за 3 месяца.

После этого рассчитываем среднее значение за весь период для обоих этих показателей, применив функцию СРЗНАЧ .

Произведя сравнение расчетов методом скользящей средней со сглаживанием в 2 и 3 месяца по таким показателям, как абсолютное отклонение, относительное отклонение и среднеквадратичное отклонение, можно с уверенностью сказать, что сглаживание за два месяца дает более достоверные результаты, чем применение сглаживания за три месяца. Об этом говорит то, что вышеуказанные показатели по двухмесячному скользящему среднему, меньше, чем по трехмесячному.

Таким образом, прогнозируемый показатель дохода предприятия за декабрь составит 990,4 тыс. рублей. Как видим, это значение полностью совпадает с тем, которое мы получили, производя расчет с помощью инструментов Пакета анализа .

Мы произвели расчет прогноза при помощи метода скользящей средней двумя способами. Как видим, данную процедуру намного проще выполнить с помощью инструментов Пакета анализа . Тем не менее некоторые пользователи не всегда доверяют автоматическому расчету и предпочитают для вычислений использовать функцию СРЗНАЧ и сопутствующие операторы для проверки наиболее достоверного варианта. Хотя, если все сделано правильно, на выходе результат расчетов должен получиться полностью одинаковым.

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Метод скользящих средних является одним из широко известных методов сглаживания временных рядов. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов.

Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного интервала времени (периода).

Затем период сдвигается на одно наблюдение, и расчет средней повторяется. При этом периоды определения средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом рассматриваемом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки.

При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал сглаживания, тем более плавным получается тренд. Сглаженный ряд короче первоначального на (n–1) наблюдений, где n – величина интервала сглаживания.

При больших значениях n колеблемость сглаженного ряда значительно снижается. Одновременно заметно сокращается количество наблюдений, что создает трудности.

Выбор интервала сглаживания зависит от целей исследования. При этом следует руководствоваться тем, в какой период времени происходит действие, а следовательно, и устранение влияния случайных факторов.

Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула:

Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза

Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом скользящей средней

Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо:

1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3).

2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов
m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76
Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.
Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.
m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62
Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.

3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:

где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель; mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52
Определяем скользящую среднюю m для октября.
m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5
Строим прогноз на декабрь.
У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53
Определяем скользящую среднюю m для ноября.
m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49
Строим прогноз на январь.
У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49
Заносим полученный результат в таблицу.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 9,01/8 = 1,13% точность прогноза высокая.

Далее решим данную задачу методами экспоненциального сглаживания и наименьших квадратов . Сделаем выводы.

Средние линии – это графические построения на графике, которые строятся на основе средних значений цены за определенный промежуток времени. Moving Average встроен в торговую платформу МТ4, с его помощью можно осуществлять сглаживание скользящих средних, именно об этом мы и поговорим в этой статье.

Сглаживание скользящих средних

Moving Average позволяет осуществлять сглаживание скользящих средних. В чем преимущества этой функции? Дело в том, что при построении простой экспоненциальной средней (SMA) используются цены, обладающие одинаковой важностью, в то время как экспоненциальные скользящие средние больше полагаются на последние котировки. Последние строятся по определенной формуле, где большую роль играют последние события на рынке, а не те изменения, которые происходили ранее.

Разновидности средних линий

Всего Moving Average предлагает построение четырех линий, которые строятся по определенному принципу.

Simple – простая скользящая средняя. Это самая простая линия, которая строится по формуле, где все цены обладают равнозначными значениями. 2. Exponential – экспоненциальная скользящая средняя, которая строится по формуле, в которой главную роль играет последний бар. Она подходит для ведения краткосрочной торговли.
Smoothed – сглаженная скользящая средняя. Данная скользящая используется для долгосрочной торговли. Для того чтобы она изменила свое направление, необходим существенный скачок.
Linear Weighted – взвешенная скользящая средняя, при построении которой большее значение уделяется более новым изменениям на рынке.

Что лучше: простая скользящая средняя или сглаженная

Увеличив период скользящей средней, в расчете будет принимать участие больше значений стоимости. Чем больше период, тем менее чувствительная скользящая средняя и наоборот. Но что же лучше: простая скользящая средняя или сглаженная?

Для примера возьмем значение периода 15. Для построения линий будут учитываться значения баров от 1 до 15, как только появится 16 бар, в расчетах будут принимать участие бары в диапазоне 2-16. При этом, при построении обычной скользящей средней цены будут обладать одинаковым значениям, в то время как в сглаженной все будет зависеть от последнего бара.

У каждой скользящей свои плюсы и минусы, которые обязательно стоит учитывать при выборе наиболее подходящего для торговли вида. Выбор скользящей средней напрямую зависит от используемой валютной пары, тайм-фрейма и торговой стратегии. У всех скользящих линий есть один общий недостаток, который заключается в небольшом запаздывании.

Применение скользящих средних

Самый простой способ использования данного инструмента заключается в построении двух скользящих средних с разными периодами. Линия с небольшим периодом будет более подвижной. В момент, когда на рынке происходит смена господствующего тренда, быстрая скользящая линия пересекает медленную, что, в свою очередь, является сигналом для создания ордера.

На представленной ниже картинке вы можете увидеть, как описанная выше ситуация выглядит на валютном графике.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденци и развития. Иногда сглаживание применяют как предварительный этап перед использованием других методов выделения тенденции

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому, являются важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Если рассматриваемое явление носит линейный характер, то применяется простая скользящая средняя. Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде: yt-p, yt-p+1, ... , yt-1, yt, yt+1, ... , yt+p-1, yt+p,

а скользящая средняя определена по формуле:

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно было бы использовать четырех- и двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние "свежие" данные обладают наибольшей информационной ценностью. Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда . Для этого необходимо:

1.Вычислить средний прирост на последнем активном участке yt-p, yt-p+1, ... , yt, ... , yt+p-1, yt+p

2.Получить P сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы, и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, применение простой скользящей средней нецелесообразно.

Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.

При построении взвешенной скользящей средней на каждом участке сглаживания значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. уровни ряда взвешивают.

Взвешенная скользящая средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине участка сглаживания.

При сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы второго (парабола) или третьего порядка.

Сглаживание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом: для каждого участка сглаживания подбирается полином вида:

Y i = a j + a 1 t

Y i = a o + a 1 t + a 2 t 2 +… a p t p

Параметры полинома находятся по методу наименьших квадратов.

При этом начало отсчета переносится в середину участка сглаживания, например, если длина интервалов сглаживания = 5, то индексы уровней участка сглаживания будут равны: -2, -1, 0, 1, 2.

у	t	t	t
у1	-2
у2	-1
у3
у4
у5
	t=0

Тогда сглаживающим значением для уровня, стоящего в середине участка сглаживания, будет значение параметра а 0 .

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в участок сглаживания, поскольку они будут одинаковыми для каждого участка сглаживания, например, если в интервал сглаживания входит 5 последующих уровней ряда и выравнивание производится по параболе, то коэффициенты параболы находят по методу наименьших квадратов, учитывая, что t = 0.

Метод наименьших квадратов в этой ситуации дает следующую систему уравнений:

Для нахождения параметра а0 используют 1 и 3 уравнение

34-=5*34а0-10*10а0

34-=а0(170-100)

а0=

Если длина интервала сглаживания равна 7, весовые коэффициенты следующие:

Отметим важные свойства приведенных весов:

1) Они симметричны относительно центрального уровня.

2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Существуют приемы, позволяющие с помощью дополнительных вычислений получить сглаженные значения для Р начальных и конечных уровней ряда при длине интервала сглаживания g=2p+1.

Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка

Тема 5: Методы измерения и изучения устойчивости временного ряда.

o устойчивость уровней ряда;

o устойчивость тренда.

Согласно статистической теории, статистический показатель содержит в себе элементы необходимого и случайного. Необходимость проявляется в форме тенденции временных рядов, а случайность в форме колебаний уровней относительно тренда. Тенденцией характеризуется процесс эволюции.

Расчленение временных рядов на составляющие элементы – условный описательный прием. Тем не менее, решающим фактором, обусловливающим тенденцию является целенаправленная деятельность человека, а главной причиной колеблемости – изменение условий жизнедеятельности.

Отсюда следует, что устойчивость не означает обязательного повторения одинакового уровня из года в год. Слишком узким было понятие устойчивости ряда как полное отсутствие любых колебаний уровней.

Сокращение колебаний уровней ряда – одна из главных задач при повышении устойчивости.

Устойчивость временных рядов - это наличие необходимой тенденции изучаемого показателя с минимальным влиянием на него неблагоприятных условий.

Для измерения устойчивости уровней временных рядов используют следующие показатели:

1) размах колеблемости - определяется как разница средних уровней за благоприятные и неблагоприятные по отношению к изучаемому явлению периоды времени:

R=y благопр – унеблагопр

К благоприятным периодам времени относятся все периоды с уровнями выше тренда, а к неблагоприятным – ниже тренда.

3)среднее линейное отклонение:

1) среднее квадратическое отклонение:

S(t)=

Уменьшение колеблемости во времени будет равнозначно устойчивости уровней.

Для характеристики устойчивости рекомендуются также следующие показатели:

1) процентный размах (PR):

Wmax/min – max/min относительный прирост.

2) Скользящая средняя (МА) оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних (хt):

3) Среднее процентное изменение (АРС) оценивает среднее значение абсолютных величин, относительных приростов и квадратов относительных приростов:

АРС=

Для оценки устойчивости уровней временных рядов применяются относительные показатели колеблемости:

K=100 – V(t) – коэффициент устойчивости (в процентах или долях единиц).

Для измерения устойчивости тенденции динамики (тренда) используют следующие показатели:

1) коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена):

d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов номеров периодов или моментов времени.

Для определения этого коэффициента величины уровней нумеруют в порядке возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается определенный ранг равный частному от деления рангов, приходящихся на число этих равных значений.

Коэффициент Спирмена может принимать значения в пределах от 0 до ±1. Если каждый уровень исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера лет совпадают – Кр=+1. Это означает полную устойчивость самого факта роста уровней ряда, то есть непрерывность роста. Чем ближе Кр к +1, тем ближе рост уровней к непрерывному, то есть выше устойчивости роста. Если Кр=0, рост совершенно неустойчив.

При отрицательных значениях чем ближе Кр к -1, тем устойчивее уменьшение изучаемого показателя.

Индекс корреляции показывает степень сопряженности колебаний исследуемых показателей с совокупностью факторов, изменяющих их во времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает, большую устойчивость изменения уровней временных рядов.

Число уровней ряда у двух показателей должно быть одинаково.

Применяются также комплексные показатели устойчивости , сущность которых заключается в определении их не через уровни временных рядов, а через показатели их динамики.

1. Показатель Каякиной определяется как отношение среднего прироста линейного тренда, т.е. параметра а1 к среднему квадратическому отклонению уровней от тренда:

Чем больше величина этого показателя, тем менее вероятно, что уровень ряда в следующем периоде будет меньше предыдущего.

2. Показатель опережения, который получают, сопоставляя темпы роста уровней ряда с темпами значения колеблемости:

Если показатель опережения > 1, то это свидетельствует о том, что уровни ряда в среднем растут быстрее колебаний или снижаются медленнее колебаний. В таком случае коэффициент колеблемости уровней будет уменьшаться, а коэффициент устойчивости уровней увеличиваться. Если показатель опережения меньше 1, то колебания растут быстрее уровней тренда и коэффициент колеблемости растет, а коэффициент устойчивости уровней уменьшается, то есть показатель опережения определяет направление динамики коэффициента устойчивости уровней.