Прямоугольный треугольник - треугольник, один угол которого прямой (равен 90 0). Следовательно, два других угла в сумме дают 90 0 .
Стороны прямоугольного треугольника
Сторона, которая располагается напротив угла в девяносто градусов, называется гипотенузой. Две другие стороны именуются катетами. Гипотенуза всегда длиннее, чем катеты, но короче их суммы.
Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника
Если катет находится напротив угла в тридцать градусов, то его длина соответствует половине длины гипотенузы. Отсюда вытекает, что угол, противоположный катету, длина которого соответствует половине гипотенузы, равен тридцати градусам. Катет равняется среднему пропорциональному гипотенузы и проекции, которую дает катет на гипотенузу.
Теорема Пифагора
Любой прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора. Эта теорема гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если принять, что катеты равны а и в, а гипотенуза - с, то запишем: а 2 +в 2 =с 2 . Теорема Пифагора применяется для решения всех геометрических задач, в которых фигурируют прямоугольные треугольники. Также она поможет начертить прямой угол при отсутствии необходимых инструментов.
Высота и медиана
Прямоугольный треугольник характеризуется тем, что две его высоты совмещаются с катетами. Чтобы найти третью сторону, нужно найти сумму проекций катетов на гипотенузу и разделить на два. Если из вершины прямого угла провести медиану, то она окажется радиусом окружности, которую описали вокруг треугольника. Центром этой окружности будет середина гипотенузы.
Прямоугольный треугольник. Площадь и ее вычисление
Площадь прямоугольных треугольников вычисляется по любой формуле нахождения площади треугольника. Помимо этого, можно использовать еще одну формулу: S=а*в/2, которая гласит, что для нахождения площади нужно произведение длин катетов разделить на два.
Косинус, синус и тангенс прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла именуют отношение катета, прилегающего к углу, к гипотенузе. Он всегда меньше, чем единица. Синус - это отношение катета, который лежит напротив угла, к гипотенузе. Тангенс - отношение катета, лежащего против угла, к катету, прилегающему к этому углу. Котангенсом называют отношение катета, прилегающего к углу, к катету, находящемуся напротив угла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не являются зависимыми от размеров треугольника. На их значение влияет только градусная мера угла.
Решение треугольника
Чтобы вычислить значение катета, противолежащего углу, нужно умножить длину гипотенузы на синус этого угла или размер второго катета на тангенс угла. Для нахождения катета, прилежащего к углу, необходимо посчитать произведение гипотенузы на косинус угла.
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Если треугольник имеет прямой угол и равные катеты, то его называют равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы такого треугольника тоже равны - по 45 0 . Медиана, биссектриса и высота, проведенные из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника, совпадают.
Свойства прямоугольного треугольника
Дорогие семиклассники, вы уже знаете какие геометрические фигуры называются треугольниками, умеете доказывать признаки их равенства. Знаете вы и о частных случаях треугольников: равнобедренных и прямоугольных. Свойства равнобедренных треугольников вам хорошо известны.
Но и у прямоугольных треугольников есть немало свойств. Одно, очевидное, связано с теоремой о сумме внутренних углов треугольника: в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равно 90°. Самое удивительное свойство прямоугольного треугольника вы узнаете в 8 классе , когда изучите знаменитую теорему Пифагора.
А сейчас мы поговорим еще о двух важных свойствах. Одно из них относится к прямоугольным треугольникам с углом 30°, а другое к произвольным прямоугольным треугольникам. Сформулируем и докажем эти свойства.
Вам хорошо известно, что в геометрии принято формулировать утверждения обратные к доказанным, когда условие и заключение в утверждении меняются местами. Далеко не всегда обратные утверждения оказываются верными. В нашем случае оба обратных утверждения верны.
Свойство 1.1 В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
Доказательство: Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором ÐА=90°, ÐВ=30°, тогда ÐС=60°..gif" width="167" height="41">, следовательно , что и требовалось доказать.
Свойство 1.2 (обратное к свойству 1.1) Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
Свойство 2.1 В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором ÐВ=90°.
BD-медиана, то есть AD=DC. Докажем, что .
Для доказательства сделаем дополнительное построение: продолжим BD за точку D так, чтоBD=DN и соединим N с A и C..gif" width="616" height="372 src=">
Дано: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7см
1. ÐEBC=30o, т. к. в прямоугольном ∆BCE сумма острых углов 90о
2. BE=14см(свойство 1)
3. ÐABE=30o, так как ÐA+ÐABE=ÐBEC (свойство внешнего угла треугольника) поэтому ∆AEB- равнобедренный AE=EB=14см.
BC=2AN=20 см (свойство 2).
Задача 3. Доказать, что высота и медиана прямоугольного треугольника, проведенные к гипотенузе, образуют угол, равный разности острых углов треугольника.
Дано: ∆ АВС, ÐВАС=90°, АМ-медиана, АН-высота.
Доказать: ÐМАН=ÐС-ÐВ.
Доказательство:
1)ÐМАС=ÐС (по свойству 2 ∆ АМС-равнобедренный, АМ=СМ)
2)ÐМАН=ÐМАС-ÐНАС=ÐС-ÐНАС.
Остается доказать, что ÐНАС=ÐВ. Это следует из того, что ÐВ+ÐС=90°(в ∆ АВС) и ÐНАС+ÐС=90° (из ∆ АНС).
Итак, ÐМАН=ÐС-ÐВ, что и требовалось доказать.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Дано: ∆АВС, ÐВАС=90°, АН-высота, .
Найти: ÐВ, ÐС.
Решение: Проведем медиану АМ. Пусть АН=х, тогда ВС=4х и
ВМ=МС=АМ=2х.
В прямоугольном ∆ АМН, гипотенуза АМ в 2 раза больше катета АН, поэтому ÐАМН=30°. Так как ВМ=АМ,
ÐВ=ÐВАМ100%">
Продолжим AC за точку А так, что AD=AC. Тогда ∆ABC=∆ABD(по 2-м катетам). BD=BC=2AC=CD, таким образом ∆DBC-равносторонний, ÐС=60о и ÐАВС=30о.
Задача 5
В равнобедренном треугольнике один из углов 120о, основание равно 10 см. Найти высоту, проведенную к боковой стороне.
Решение: для начала отметим, что угол 120о может быть только при вершине треугольника и что высота проведенная к боковой стороне попадет на её продолжение.
АВ - лестница, К - котенок.
При любом положении лестницы, пока она окончательно не упала на землю ∆АВС- прямоугольный. СК - медиана ∆АВС.
По свойству 2 СК=1/2АВ. То есть в любой момент времени длина отрезка СК постоянна.
Ответ: точка К будет двигаться по дуге окружности с центром С и радиусом СК=1/2АВ.
Задачи для самостоятельного решения.
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 4см. найти длину гипотенузы. В прямоугольном ∆ АВС с гипотенузой ВС и углом В, равным 60о, проведена высота АD. Найти DC, если DB=2см. В ∆АВС ÐС=90о, СD - высот, ВС=2ВD. Докажите, что АD=3ВD. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на части 3см и 9см. Найти углы треугольника и расстояние от середины гипотенузы до большего катета. Биссектриса разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Найти углы исходного треугольника. Медиана разбивает треугольник на два равнобедренных. Можно ли найти углы
Исходного треугольника?
Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов - прямой, то есть равен 90 градусам.
- Сторона, противолежащая прямому углу называется гипотенузой (на рисунке обозначена как c или AB)
- Сторона, прилежащая к прямому углу, называется катетом. Каждый прямоугольный треугольник имеет два катета (на рисунке обозначены как a и b или AC и BC)
Формулы и свойства прямоугольного треугольника
Обозначения формул:(см. рисунок выше)
a, b - катеты прямоугольного треугольника
c - гипотенуза
α, β - острые углы треугольника
S - площадь
h - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу
m a a из противолежащего угла (α )
m b - медиана, проведенная к стороне b из противолежащего угла (β )
m c - медиана, проведенная к стороне c из противолежащего угла (γ )
В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы (Формулы 1 и 2). Данное свойство является следствием теоремы Пифагора .
Косинус любого из острых углов меньше единицы (Формулы 3 и 4). Данное свойство следует из предыдущего. Так как любой из катетов меньше гипотенузы, то из соотношение катета к гипотенузе всегда меньше единицы.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). (Формула 5). Это свойство постоянно используется при решении задач.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (Формула 6)
Сумма квадратов медиан к катетам, равна пяти квадратам медианы к гипотенузе и пяти квадратам гипотенузы, деленных на четыре (Формула 7). Кроме указанной, есть еще 5 формул , поэтому рекомендуется ознакомиться также и с уроком "Медиана прямоугольного треугольника ", в котором более подробно изложены свойства медианы.
Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (Формула 8)
Квадраты катетов обратно пропорциональны квадрату высоты, опущенной на гипотенузу (Формула 9). Данное тождество также является одним из следствий теоремы Пифагора.
Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности (Формула 10). Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности . Это свойство часто используется при решении задач.
Радиус вписанной
в прямоугольный треугольник
окружности
можно найти как половину от выражения, включающего в себя сумму катетов этого треугольника минус длину гипотенузы. Или как произведение катетов, деленное на сумму всех сторон (периметр) данного треугольника. (Формула 11)
Синус угла отношению противолежащего
данному углу катета к гипотенузе
(по определению синуса). (Формула 12). Данное свойство используется при решении задач. Зная величины сторон, можно найти угол, который они образуют.
Косинус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению прилежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 13)
Треугольник в геометрии представляет одну из основных фигур. Из предыдущих уроков вы знаете, что треугольник – это многоугольная фигура, которая имеет три угла и три стороны.
Треугольник называют прямоугольным
, если у него есть прямой угол, который равен 90 градусов.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами
; третья его сторона называется гипотенузой
. Гипотенуза является самой большой стороной этого треугольника.
- По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
- Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
- Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Свойства и особенности прямоугольных треугольников
I – е свойство. В прямоугольном треугольнике сумма его острых углов равна 90°. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. В прямоугольном треугольнике наибольшим углом, является прямоугольный угол. Если же в треугольнике самый большой угол имеет более 90°, то такой треугольник перестает быть прямоугольным, так как сумма всех углов превысить 180 градусов. Со всего этого следует, что гипотенуза является наибольшей стороной треугольника.
II – е свойство. Катет прямоугольного треугольника, который лежит против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузе.
III – е свойство. Если же в прямоугольном треугольнике катет равняется половине гипотенузы, то и угол, который лежит напротив данного катета будет равен 30 градусам.
Загрузка...